數(shù)的整除問題奧數(shù)試題及答案
試問，能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個相連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出說明.
考點：數(shù)的整除特征.
分析：根據(jù)題意，可采用假設的方法進行分析，100個自然數(shù)任意的5個數(shù)相連，可以分成20個組，使得在任何5個相連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除，那么會有40個數(shù)是3的'倍數(shù)，事實上在1至100的自然數(shù)中只有33個是3倍數(shù)，所以不能.
解答：假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數(shù)，
按所排列順序將它們每5個分為一組，可得20組，
其中每兩組都沒有共同的數(shù)，于是，在每一組的5個數(shù)中都至少有兩個數(shù)是3的倍數(shù).
從而一共會有不少于40個數(shù)是3的倍數(shù).但事實上在1至100的這100個自然數(shù)中只有33個數(shù)是3的倍數(shù)，
導致矛盾，所以不能.
答：不能.
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